【確率論】モンティ・ホール問題を誰でも分かる様に徹底的に解説する

皆さまこんにちは！

今回は論理パズル（というより確率論？）の中で超有名な問題「モンティ・ホール問題」について徹底的に解説していきたいと思います。

この問題は数学が得意な人でもきちんと答えられない代わりに、数学が得意でない人でも感覚的に答えられる人がいるという何とも面白い問題となっています。

考えれば考えるほど混乱する問題ですので、この記事を読んでもらったら納得してもらえるように、出来るだけ、丁寧に、解説していきたいと思います。

■モンティ・ホール問題とは

まずはモンティ・ホール問題を紹介しておきましょう。

その問題がこちら。

これを聞くと「答えなんてあるの？」、「どっち選んでも一緒じゃないの？」とパッと見は思ってしまうと思います。

どちらを選んでも確率は1/2、50％：50％の様な気もしますが、先に答えを言いますと、

『ドアを変更すべき』

が答えとなります。

何故、ドアを変更した方がよいのでしょうか？

下記から解説しておきます。

■どちらのドアを選んでも確率は1/2ではない

なぜドアを変更すべきなのかを下記から解説していくのですが、その前にほぼ皆さんがお持ちの考えを取っ払っておきたいと思います。

それは

「どちらのドアを選んでも確率は1/2じゃないか」

という疑問です。

この概念を払しょくしてもらったうえで下記からの解説を聞いてもらうとすんなり頭に入ってくると思います。

この疑問を解決する糸口は２点あります。

1. 司会者はどのドアが正解のドアかを知っている
2. 最初は３つの扉。その後司会者が不正解のドアを１つオープンし２つに絞る

この２点の条件がある為に単純に50％の確率ではなくなります。

最初からドアが２つしかなく、どちらかのドアを選択した場合はもちろん確率は50：50です。しかし今回の問題は『３つあるドアの中から、正解を知っている司会者が、プレイヤーが選ばなかった２つのドアから１つをオープンさせる』のです。

そこにヒントが隠れています。

少しは「あれ、ちょっと怪しいぞ」と思ってもらえたら、この章はOKです。

■具体的な確率は2/3となる理由

それでは具体的な解説に入ります。

まず、Ａ・Ｂ・Ｃの３つのドアから、プレイヤーはＡのドアを選択し、その後司会者がＢのドアをハズレとしてオープンしたとします。

まず、３つの扉からプレイヤーがＡの扉を選んだ時、Ａの扉が正解の確立は1/3です。これは言わずもがなですよね。

逆に言うと、Ｂ・Ｃである確率は2/3となります。
（Ｂ：1/3、Ｃ：1/3、合わせて2/3）

ここで答えを知っている司会者が登場。Ｂ・ＣからハズレであるＢを削除します。

という事はＣである確率は、Ｂが存在していた時の確立2/3を継承しているので、プレイヤーが選択したＡ：1/3よりも確率的には大きくなる為、ドアを変更した方がよいという結論になります。

■母数を増やすとイメージしやすい

ここまで読んでも「アナタ、ナニイッテルカワカラナイ…」と思った方、私の語彙力不足ですいません…

という事でもう少し直感的に分かりやすくしてみたいと思います。

それは『扉の枚数を増やして考えてみる』です。

これならどうでしょうか？

今度は大半の人が「変更する」と直感的に思うのではないでしょうか？

ではなぜそう思うのか？それは前述したように司会者の『意思』が入るからです。

『司会者はどのドアが正解のドアかを知って』います。よって９９９９個のの扉の中から正解ハズレの分を取り除くことは、逆に言うと「当たりの扉を避けて開いている」という意思がそこには入ります。

したがってプレイヤー側から見た時の確立は、『元の１万個の扉が有る状態のまま、選択肢が２つに絞られた』状態と言いかえることが出来ますので、Aの扉の確率は1/10000、もう片方の扉は9999/10000となります。

■まとめ

いかがでしたでしょうか？

今回は「モンティ・ホール問題を誰でも分かる様に徹底的に解説する。」と題し、確率論と言いながら、論理パズルにも通ずる考え方について解説しました。

この手の問題は脱出ゲーム等にはあまり出てくるような問題ではありませんが、論理パズルや頭の体操系では出てくるような問題です。

頭を柔らかくする上でも常日頃から個の様な変な？面白い？問題に触れておくことは大事だと思いますので、面白そうな問題があればジャンルを問わずにこれからもUPしていきたいと思います。

それでは！