【覆面算】数学オリンピックで出題された問題を徹底的に解説する！

皆さまこんにちは！

さて、今回も覆面算の問題について徹底的に解説します！

今回は数学オリンピックの問題で実際に出題された問題を出題します！

覆面算は脱出ゲームや謎解き本でよく出る頻出問題ですので、たくさん解いて慣れていきましょう！

■今回の問題

今回の覆面算の問題はこちらです。

次の覆面算を解き、ＩＭＯに対応する数を書きなさい

　ＩＭＯ
　　　＆
　ＪＭＯ
＋　　＆
――――
ＪＪＭＯ

今回は４つの数字の足し算です。

４つの数字が足されるのは１の位だけですのであまり恐怖は感じませんが、繰り上がりの数が１だけではなくなりますので気をつけて解きましょう！

■問題を解く前の下準備

まずは毎回のように下準備をします。

• 式の上に繰り上がり用の□枠を書く
• 式の右側に使用後にチェックをするように0～9までの数字を書く
• ＩとＯが１、０と見間違いやすい為それぞれをＨ、Ｑに変換する。

これらを式に落とします。

■今回の覆面算で気をつける事

繰り返しになりますが、１の位が数字を４つ足している為に繰り上がりの数が１だけとは限りません。

繰り上がりのＭＡＸを考えてみると、数の最大値であるＱ＝９、＆＝８と仮定した時に、

９＋８＋９＋８＝３４

となり、１の位の繰り上がりの最大は３となります。
（１の位の答えがＱ＝８となっていないですが、今は繰り上がりのＭＡＸ値を調べたいだけですので一旦無視します。）

つまり１の位の繰り上がりは０、１、２、３のどれかとなります。

次に十の位の繰り上がりはどうでしょうか？こちらも考えておきましょう。

こちらはＭ＝９、Ｑ＝８、＆＝７の時、

９８＋７＋９８＋７＝２１０

となり、１０の位の繰り上がり最大は２となります。
（こちらも１の位の時と同様１０の位の答えがＭ＝９となっていませんが、一旦無視します。）

つまり十の位の繰り上がりは０、１、２のどれかとなります。

最後に百の位の繰り上がりも見ておきましょう。

十の位からの繰り上がり最大は２、Ｈ＝９、Ｊ＝８と仮定すると、

２＋９＋８＝１９

となり、百の位の繰り上がりの最大は１となります。

これを念頭に置いた上で下記より覆面算を解いていきます。

■覆面算を解いていく

それでは今回の覆面算を解いていきます。

解き方の手順としては
①Ｊを解く
②Ｍを考える
③順に解いていく

となります。

それでは其々を解説していきます。

①Ｊを解く

まずはＪを解いていきます。

こちらは覆面算の定番ですが、計算結果の千の位に着目します。

上記「気をつける事」で見てみたとおり、百の位からの繰り上がりは１しかありえません。

よってＪ＝１が確定します。

②Ｍを考える

次に着目するのはＭです。

□（０or１or２or３）　＋　Ｍ　＋　Ｍ　＝　Ｍ

上記になるパターンを考えてみましょう。

例えばＭ＝１と仮定してみた場合、

□（０or１or２or３）　＋　１　＋　１　＝　１
　　　　□（０or１or２or３）　＋　２　＝　１
　　　　　　　　□（０or１or２or３）　＝　－１

となり、式が成立しません。

このように順次当てはめて解いていくと、計算が成り立つ事が出来るのは下記４つしかないことが分かります。

※繰り上がりになる可能性が０～３と多い割に、考えられるパターンは意外に少なくなりました。
これは「Ｍ＋Ｍ＝Ｍ」という特徴的な計算式によるものだと考えられます。

③順に解いていく

②により４パターンに絞られましたので、其々を検証していきたいと思います。

●Ｍ＝０：□＝０の場合

式に起こすと下記になります。

一の位からの繰り上がりが０という事を念頭において一の位を見てみます。

現在使用されていない最小の数は２と３になりますので、Ｑ＝２、＆＝３（逆でも可）を入れて計算してみると、

２＋３＋２＋３＝１０

となってしまい、最小の数でも繰り上がりが発生してしまいます。よってＭ＝０：□＝０では式が成り立たない事が確定します。

●Ｍ＝５：□＝０の場合

式に起こすと下記になります。

一の位からの繰り上がりが０となりますのでＭ＝０の場合と同じように見えますが、今回は０が残っている為に少し状況が違います。

そこで一の位を見てみると、残っている数字から繰り上がりが０となる可能性は、Ｑ＝０とし（＆＝０は問題分で禁止されている。）、＆＝２、３、４を入れる事が出来そうです。

しかし、一の位の答えもＱ＝０となる必要があります。

＆＝２，３，４どれを入れても答えは０とはならない為、Ｍ＝５：□＝０の場合も式が成り立たない事が確定します。

●Ｍ＝８：□＝２の場合

式に起こすと下記になります。

次に十の位からの繰り上がり部分を計算すると

２＋８＋８＝１８

で繰り上がりは１となります。

それを踏まえてＨを計算すると

繰り上がりの１＋Ｈ＋１＝１１
　　　　　　　　２＋Ｈ＝１１
　　　　　　　　　　Ｈ＝９

となります。

ここまでを式に表すと下記です。

最後に一の位を考えます。

Ｑ＋＆＋Ｑ＋＆＝Ｑ＋２０（←２繰り上がるので）
　　２Ｑ＋２＆＝Ｑ＋２０
　　　　　　Ｑ＝２０－２＆

となります。この式が成り立つ可能性があるのは下記４パターンです。

１、８、９は既に別のアルファベットで使用している為使えません。

よって①③④は成立せず、②Ｑ＝６：＆＝７は成立しそうです。

式に直してみます。

●Ｍ＝９：□＝１の場合

上記で答えが分かってしまいましたが、Ｍ＝９の場合も確認しておきましょう。

上記式に既に入れていますが、十の位からの繰り上がりを計算すると、

１＋９＋９＝１９

となり、繰り上がりは１です。

次に百の位（Ｈ）を考えます。

繰り上がりの

１＋Ｈ＋１＝１１
　　　　Ｈ＝９

となり、Ｈ＝９が確定しますが、９じゃ既にＭで使用していますので不成立となります。

●結果

最終的な結果は下記となります。

■感想

今回の覆面残の問題はいかがでしたでしょうか？

4つの数字の足し算という事で繰り上がりが３になる可能性まで出てきました。

難しく感じた部分もあったと思いますが、順番に見ていくとそれほど違和感なく解けたのではないでしょうか？

覆面算の場合は、やはり論理的に、ゆっくり解いていくことが正解への近道だと思います！

それでは！