【覆面算】数学オリンピックで出題された問題を徹底的に解説する!

olympic 覆面算

皆さまこんにちは!

さて、今回も覆面算の問題について徹底的に解説します!

今回は数学オリンピックの問題で実際に出題された問題を出題します!

覆面算は脱出ゲームや謎解き本でよく出る頻出問題ですので、たくさん解いて慣れていきましょう!

■今回の問題

今回の覆面算の問題はこちらです。

次の覆面算を解き、IMOに対応する数を書きなさい

 IMO
   &
 JMO
+  &
――――
JJMO

今回は4つの数字の足し算です。

4つの数字が足されるのは1の位だけですのであまり恐怖は感じませんが、繰り上がりの数が1だけではなくなりますので気をつけて解きましょう!

■問題を解く前の下準備

まずは毎回のように下準備をします。

  • 式の上に繰り上がり用の□枠を書く
  • 式の右側に使用後にチェックをするように0~9までの数字を書く
  • IとOが1、0と見間違いやすい為それぞれをH、Qに変換する。

これらを式に落とします。

□□□
 IMO
   &
 JMO   01234
+  &   56789
――――
JJMO

■今回の覆面算で気をつける事

繰り返しになりますが、1の位が数字を4つ足している為に繰り上がりの数が1だけとは限りません。

繰り上がりのMAXを考えてみると、数の最大値であるQ=9、&=8と仮定した時に、

9+8+9+8=34

となり、1の位の繰り上がりの最大は3となります。
(1の位の答えがQ=8となっていないですが、今は繰り上がりのMAX値を調べたいだけですので一旦無視します。)

つまり1の位の繰り上がりは0、1、2、3のどれかとなります。

次に十の位の繰り上がりはどうでしょうか?こちらも考えておきましょう。

こちらはM=9、Q=8、&=7の時、

98+7+98+7=210

となり、10の位の繰り上がり最大は2となります。
(こちらも1の位の時と同様10の位の答えがM=9となっていませんが、一旦無視します。)

つまり十の位の繰り上がりは0、1、2のどれかとなります。

最後に百の位の繰り上がりも見ておきましょう。

十の位からの繰り上がり最大は2、H=9、J=8と仮定すると、

2+9+8=19

となり、百の位の繰り上がりの最大は1となります。

これを念頭に置いた上で下記より覆面算を解いていきます。

この下からヒントや解答を記載しています。
もし自力で解かれたい方はこの下は見ないようにしてください。

■覆面算を解いていく

それでは今回の覆面算を解いていきます。

解き方の手順としては
①Jを解く
②Mを考える
③順に解いていく

となります。

それでは其々を解説していきます。

①Jを解く

まずはJを解いていきます。

こちらは覆面算の定番ですが、計算結果の千の位に着目します。

上記「気をつける事」で見てみたとおり、百の位からの繰り上がりは1しかありえません。

よってJ=1が確定します。

□□
 HMQ
   &
 1MQ  0234
+  &  56789
――――
11MQ

②Mを考える

次に着目するのはMです。

□(0or1or2or3) + M + M = M

上記になるパターンを考えてみましょう。

例えばM=1と仮定してみた場合、

□(0or1or2or3) + 1 + 1 = 1
    □(0or1or2or3) + 2 = 1
        □(0or1or2or3) = -1

となり、式が成立しません。

このように順次当てはめて解いていくと、計算が成り立つ事が出来るのは下記4つしかないことが分かります。

M=0:□=0
M=5:□=0
M=8:□=2
M=9:□=1

※繰り上がりになる可能性が0~3と多い割に、考えられるパターンは意外に少なくなりました。
これは「M+M=M」という特徴的な計算式によるものだと考えられます。

③順に解いていく

②により4パターンに絞られましたので、其々を検証していきたいと思います。

●M=0:□=0の場合

式に起こすと下記になります。

1□
 H
   &
 1Q  234
+  &  56789
――――
11

一の位からの繰り上がりが0という事を念頭において一の位を見てみます。

現在使用されていない最小の数は2と3になりますので、Q=2、&=3(逆でも可)を入れて計算してみると、

2+3+2+3=10

となってしまい、最小の数でも繰り上がりが発生してしまいます。よってM=0:□=0では式が成り立たない事が確定します。

●M=5:□=0の場合

式に起こすと下記になります。

1□
 H
   &
 1Q  0234
+  &  6789
――――
11

一の位からの繰り上がりが0となりますのでM=0の場合と同じように見えますが、今回は0が残っている為に少し状況が違います。

そこで一の位を見てみると、残っている数字から繰り上がりが0となる可能性は、Q=0とし(&=0は問題分で禁止されている。)、&=2、3、4を入れる事が出来そうです。

しかし、一の位の答えもQ=0となる必要があります。

&=2,3,4どれを入れても答えは0とはならない為、M=5:□=0の場合も式が成り立たない事が確定します。

●M=8:□=2の場合

式に起こすと下記になります。

1□
 H
   &
 1Q  0234
+  &  567
――――
11

次に十の位からの繰り上がり部分を計算すると

2+8+8=18

で繰り上がりは1となります。

それを踏まえてHを計算すると

繰り上がりの1+H+1=11
        2+H=11
          H=9

となります。

ここまでを式に表すと下記です。


 8Q
   &
 18Q  0234
+  &  567  
――――
118Q

最後に一の位を考えます。

Q+&+Q+&=Q+20(←2繰り上がるので)
  2Q+2&=Q+20
      Q=20-2&

となります。この式が成り立つ可能性があるのは下記4パターンです。

①Q=8:&=6
②Q=6:&=7
③Q=4:&=8
④Q=2:&=9

1、8、9は既に別のアルファベットで使用している為使えません。

よって①③④は成立せず、②Q=6:&=7は成立しそうです。

式に直してみます。

112
 98
   
 18  0234
+    56789
――――
118

●M=9:□=1の場合

上記で答えが分かってしまいましたが、M=9の場合も確認しておきましょう。

11
 H
   &
 1Q  0234
+  &  5678
――――
11

上記式に既に入れていますが、十の位からの繰り上がりを計算すると、

1+9+9=19

となり、繰り上がりは1です。

次に百の位(H)を考えます。

繰り上がりの

1+H+1=11
    H=9

となり、H=9が確定しますが、9じゃ既にMで使用していますので不成立となります。

●結果

最終的な結果は下記となります。

112
 986
   7
 186  0
234
+  7  5
6789  
――――
1186

■感想

今回の覆面残の問題はいかがでしたでしょうか?

4つの数字の足し算という事で繰り上がりが3になる可能性まで出てきました。

難しく感じた部分もあったと思いますが、順番に見ていくとそれほど違和感なく解けたのではないでしょうか?

覆面算の場合は、やはり論理的に、ゆっくり解いていくことが政界への近道だと思います!

それでは!

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